課程(名稱.編號)簡索

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            數學分析又稱高級微積分，分析學中最古老、最基本的分支。一般指以微積分學和無窮級數一般理論為主要內容，並包括它們的理論基礎（實數、函數和極限的基本理論）的一個較為完整的數學學科。它也是大學數學專業的一門基礎課程。數學中的分析分支是專門研究實數與複數及其函數的數學分支。它的發展由微積分開始，並擴展到函數的連續性、可微分及可積分等各種特性。這些特性，有助我們應用在對物理世界的研究，研究及發現自然界的規律。

微積分學是微分學(Differential Calculus)和積分學(Integral Calculus)的統稱，英語簡稱Calculus，意為計算，這是因為早期微積分主要用於天文、力學、幾何中的計算問題。後來人們也將微積分學稱為分析學（Analysis)，或稱無窮小分析，專指運用無窮小或無窮大等極限過程分析處理計算問題的學問。

早期的微積分，已經被數學家和天文學家用來解決了大量的實際問題，但是由於無法對無窮小概念作出令人信服的解釋，在很長的一段時間內得不到發展，有很多數學家對這個理論持懷疑態度，柯西（Cauchy）和後來的魏爾斯特拉斯（weierstrass）完善了作為理論基礎的極限理論，擺脫了「要多小有多小」、「無限趨向」等對模糊性的極限描述，使用精密的數學語言來描述極限的定義，使微積分逐漸演變為邏輯嚴密的數學基礎學科，被稱為「Mathematical Analysis」，中文譯作「數學分析」。


數學分析的主要內容是微積分學，微積分學的理論基礎是極限理論，極限理論的理論基礎是實數理論。實數系最重要的特徵是連續性，有了實數的連續性，才能討論極限，連續，微分和積分。正是在討論函數的各種極限運算的合法性的過程中，人們逐漸建立起了嚴密的數學分析理論體系。

數學分析的基本方法是極限的方法，或者說是無窮小分析。洛比達（L』Hospital）於1696年在巴黎出版的世界上第一本微積分教科書，歐拉於1748年出版的兩卷本溝通微積分與初等分析的書，書名中都出現過無窮小分析這個詞。在微積分學發展的初期，這種新的方法顯示出巨大的力量，因而得到大批重要的成果。許多與微積分有關的新的數學分支，如變分法、微分方程以至於微分幾何和復變函數論，都在18—19世紀初發展起來。然而，初期的分析還是比較粗糙的，被新方法的力量鼓舞的數學家們經常不顧演繹的邏輯根據，使用著直觀的猜測和自相矛盾的推理，以致在整個18世紀，對這種方法的合理性普遍存在著懷疑。這些懷疑在很大程度上是從當時經常使用的無窮小的含義與用法上引起的。隨意使用與解釋無窮小導致了混亂和神秘感。許多人參與了無窮小本質的論爭，其中有些人，如拉格朗日（Lagrange），試圖排除無窮小與極限，把微積分代數化。論爭使函數與極限的概念逐漸明朗化。越來越多的的數學家認識到，必須把數學分析的概念與其在客觀世界的原型以及人的直覺區分開來。

因而，從19世紀初開始了一個一個把分析算術化（使分析成為一種像算術那樣的演繹系統）為特徵的新的數學分析的批判改造時期。柯西於1821年出版的《分析教程》是分析嚴密化的一個標誌。在這本書中，柯西建立了接近現代形式的極限，把無窮小定義為趨於零的變量，從而結束了百年的爭論。在極限的基礎上，柯西定義了函數的連續性、導數、連續函數的積分和級數的收斂性（後來知道，波爾查諾（Bolzano）同時也做過類似的工作）。進一步，狄利克雷於（Dirichlet）1837年提出了函數的嚴格定義，魏爾斯特拉斯引進了極限的ε-δ定義。基本上實現了分析的算術化，使分析從幾何直觀的局限中得到了「解放」，從而驅散了17—18世紀籠罩在微積分外面的神秘雲霧。

繼而在此基礎上，黎曼（Riemann）於1854年和達布（Darboux）於1875年對有界函數建立了嚴密的積分理論，19世紀後半葉，戴德金（Dedekind）等人完成了嚴格的實數理論。至此，數學分析的理論和方法完全建立在牢固的基礎之上，基本上形成了一個完整的體系，也為20世紀現代分析的發展鋪平了道路。

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