群表示論-全119集 | 易學族自學網

群表示論

群表示論用具體的線性群（矩陣群）來描述群的理論，是研究群的最有力的工具之一。在19世紀末和20世紀初它由F.G.弗羅貝尼烏斯和W.伯恩賽德獨立開創，

而弗羅貝尼烏斯的工作則由I.舒爾所改善和簡化。

在群論中，群表示論（group representation theory）是一個非常重要的理論。它包含了（局部）緊致群、李群、李代數及群概形的表示等種種分支，近來無限維表示理論也漸露頭角。表示理論在量子物理與數學的各領域中均有重要應用。

群表示論早期是藉矩陣的語言描述的，具體定義如次：

如果任何非零方陣的集合的乘法關係和給定群的乘法關係相同，則這個矩陣集合形成群的一個表示，這套矩陣的階稱為表示的維數。如果兩個同維表示的矩陣以同一相似變換相關聯，則稱這兩個表示是等價的。如果任何維數大於一的表示的所有矩陣都可以用相同的相似變換轉換為相同的塊對角矩陣結構，則稱此表示為可約表示，反之稱為不可約表示。形式地說，一個群G的表示乃一同態，其中V為給定的有限維向量空間，係數佈於一個域F，通常取R或C，但在一般域（如局部域或有限域）上的表示也有重要應用。GL(V)表從V上的自同構，或對一給定的基底來說，是階可逆方陣的集合。若Ker(ρ)是平凡的，則稱此表現是忠實的。

若所考慮的群G帶有額外的結構（如拓撲群、李群或群概形），我們通常要求ρ滿足相應的條件（如連續性、可微性或者要求它是概形間的態射）；在有限群及緊致群以外的情況，通常也須考慮無窮維表示。

一個群G的所有有限維表示構成一個張量範疇，記為RepG；其態射定義如下：

它等價於有限維F[G]-模所構成的範疇。不難驗證表示間的同構確由矩陣的相似變換給出。一個表示被稱作不可約的，當且僅當它沒有在G的作用下不變的非平凡子空間。若一個表現能表成不可約表示的直和，則稱之為完全可約的。若取，則緊致群的表示均為完全可約的，對於一般的李群及群概形則複雜得多，完全可約與否通常與半單性有關。

拓撲群

又名連續群,是具有拓撲空間結構的群。設G是拓撲空間，又是一個群，而且群的乘積運算與求逆按此拓撲是連續的，即從拓撲空間G×G到拓撲空間G上的映射m︰(x,y)→x·y及從G到G上的映射ƒ:x→x-1都是連續映射，則稱G為拓撲群。如果G作為拓撲空間是局部

緊 (或緊、連通、單連通)的,則稱G為局部緊(或緊、連通、單連通)拓撲群。例如,n維歐氏空間中所有向量所成的加群，再加上通常的拓撲，就是一個交換拓撲群；實數域R上所有n階非奇異方陣所成的乘法群GL(n,R),再加上通常的拓撲，是一個局部緊拓撲群;而所有行列式為1的正交矩陣所成的群 SO(n,R)是一個緊連通拓撲群。
　　從拓撲群G到拓撲群H內的映射ƒ:G→H,如果作為群結構它是群同態，作為拓撲空間的映射它是連續的，那麼ƒ稱為從拓撲群G到拓撲群H的同態，簡稱同態。如果同態ƒ是雙射, 而且逆映射ƒ-1也是連續的，那麼ƒ稱為拓撲群G到拓撲群H上的同構映射，簡稱同構。拓撲群全體帶上拓撲群間的同態，構成一個範疇。這個範疇就是拓撲群論研究的對象。

　　在數學中，拓撲群概念最初是由連續變換群的研究所引起，人們發現在處理許多連續變換群的問題中所出現的群，往往不必考慮作變換群，而只需研究這些群本身，於是產生了連續群的概念。M.S.李是最初對連續群進行系統研究而卓有成就的人。李群就是因他得名。

　　如果拓撲群G的子集H是群G的子群,那麼H加上由G的拓撲繼承下來的拓撲也構成拓撲群，就稱H為拓撲群G的拓撲子群；如果H 又是G 的閉（開）子集，那麼H 稱為G 的閉(開)子群。開子群一定是閉子群。拓撲群 G 的子群H 的閉包啐也是拓撲子群。拓撲群G 的中心與換位子群都是G 的閉正規子群。給出拓撲群G 的子群H,就可以有左陪集的集合G/H = {αH丨α∈G},有從G 到G/H上的自然映射π︰G→G/H,π(α)=αH,對α∈G,G/H上使π連續的最強拓撲，使G/H成拓撲空間，稱為G關於子群H 的左陪集空間。同樣有右陪集空間H\G。於是, G/H是豪斯多夫空間當且僅當H是閉子群。G/H是離散的,當且僅當H是開子群。如果H是拓撲群G 的正規子群，那麼商群G/H再加上上述陪集空間拓撲，使G/H成拓撲群，稱為拓撲群G按正規子群H所做得的商群。這時，從拓撲群G到拓撲群G/H的自然映射 π是拓撲群間的開同態（作為拓撲空間的映射把開集映到開集）。還有類似於群同態基本定理的同態定理：如果ƒ是從拓撲群G到拓撲群G1上的開同態映射，N為 ƒ的核,那麼N是G的閉正規子群，而且由ƒ導出G/N到G1上的映射是拓撲群間的同構映射。
　

李群

在數學中，李群（Lie group）是具有群結構的實流形或者復流形，並且群中的加法運算和逆元運算是柳形中的解析映射。李群在數學分析、物理和幾何中都有非常重要的作用。

李群定義

- 兩個解析映射，乘法運算G×G →G，和逆映射G →G滿足群公理，從而具有群結構。

- G為有限維實解析流形

同態和同構

G,H 均為李群，二者之間的一個同態：f\,:G\rightarrow H為群並且是解析映射（事實上，可以證明這裡解析的條件堪需滿足連續即可）。顯然，兩個同態磈復合是同態。所有李群的類加上同態構成一個範疇。兩個李群之間存在一個雙射，這個雙射及其逆射均為同態，就稱為同構。