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【國家精品課程】 > 基礎科學 > 物理.化學.數學.光學 |
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| 課程名稱: 數學分析選講 |
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| 課程編號： |
AS_0164 |
系列: |
國家精品課程 |
授課學校： |
內蒙古大學 |
集數: |
全 5 集 |
| 授課語言： |
中文 |
光碟版: |
1 片教程光碟(mp4檔) |
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| 簡 介： |
本課程從模型實例、歷史發展引出問題，在自然趣味中給出嚴密的數學邏輯描述，以直觀生動方式講述無窮、極限、微分、積分等數學分析 中的抽像概念，刻畫現代數學的本質特徵.......... |
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| 網路版： |
NT$ 235 元
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購 買： |
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| 光碟版： |
282 元(優惠中)
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光碟版 配送服務僅供(台灣地區) |
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→課程名稱: |
數學分析選講 |
→共 5 堂課 |
→內蒙古大學 |
2012年 "國家級" 精品教學影片 |
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課程為簡體中文字幕，發音為純正國語，
如同身處在大學課堂上課般輕鬆學習！ |
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本課程從模型實例、歷史發展引出問題，在自然趣味中給出嚴密的數學邏輯描述，以直觀生動方式講述無窮、極限、微分、積分等數學分析
中的抽像概念，刻畫現代數學的本質特徵。該課程把講授數學知識作為一個平台，重點講述如何發現問題，提出問題，解決問題；展示了聯
想、化歸、類比等數學研究的基本思想和方法，使觀者感悟數學的發現與創新。 |
[第1課]運動、無窮和極限
本講通過求瞬時速度（無窮小），無窮多個數相加，兔子和烏龜賽跑等三個具體例子，說明由於運動和無窮引入了數學，無窮的不可到達性,在數學上可能引起的很多混亂。從微積分的嚴密化引出了微積分學的基礎——極限理論，本講將歷史發展與現在的學科系統相結合，以直觀生動的方式引進抽像概念，並根據極限理論揭示無窮和有限的關係。
[第2課] 用有限刻畫無窮——從歐幾里得第五公設到極限的定義
數學刻畫無窮的重要手段是極限。但是為什麼要採取 ε-N、ε-δ
這樣「有些奇怪」的語言來描述極限過程呢？本講把問題回溯到古希臘時期，通過分析歐幾里得的平行公設如何使用特別措辭，十分巧妙地處理無窮和有限的關係，說明今天的數學思想正是古希臘數學文化的一種傳承。用有限的數量關係，肯定的語言描述了極限這樣一個無窮的變動過程，使不可能達到的無窮狀態利用有限的數字加以驗證和刻畫。
[第3課] 牛頓-萊布尼茨公式（微積分基本定理）
這一講採用了「原汁原味」的（但是簡明易懂的）數學方式來研究問題。1.通過實例，一步一步地抽像出定積分的定義；2.
從速度函數、路程函數的實例中「看到」微分、積分的內在聯繫，通過「聯想」導出牛頓-萊布尼茨公式；3.簡單演示了嚴格的數學證明。使聽眾感悟到數學研究的思想方法，展示了嚴格的數學描述的魅力。
[第4課] 極大和極小——問題的轉化與化歸
極值問題是數學研究的重要內容之一，化歸方法是數學方法論中的基本方法之一。本講從3個實際問題出發，重點講解如何轉換觀點、使用化歸的方法研究數學問題。包括最佳視角問題，光線傳播問題，特別是通過研究最速下降曲線的例子，使用微元法把問題線性化，再運用化歸的數學方法把它轉換為已知的光線折射定理，導出曲線滿足的微分方程。例子生動有趣，展示了數學的發展脈絡。
[第5課] 無窮級數求和——類比與猜想
無窮級數理論是數學分析中的重要內容。本講從兩個級數求和的例子出發，通過中學數學的韋達定理（根和係數關係），運用類比和猜想，特別是從有限到無窮的類比，一步一步地從已知向未知過渡，通過合情推理，「猜出」了級數的和。並使用冪級數理論、微分、積分手段證明了猜出結果的正確性。通過簡單的實例，展示了類比、歸納、合情推理這些重要思想方法在數學發現、數學創新中的重要作用。
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