定義: 小波是數學函數，它讓我們將數據分成不同頻率的份量，然後按與整體尺度相適應的分辨率分析每個份量。小波用於計算機成像、動畫、降噪和數據壓縮。

       在很多研究領域，從科學研究與工程技術到經濟學和心理學，我們需要分析數據，從而能發現基本的模式和信息。進行這種分析常用的方法就是利用數學函數做數據變換。

       傅裡葉分析是其中一個最著名的處理技術，通過將不同頻率上的一系列正弦和餘弦曲線迭加起來，你就能逼近真實世界中的數據流。在你的近似計算中曲線越多，就越能更精確地複製原始的數據。由於我們知道如何用它們定義完善的三角函數曲線，所以我們常常能推算出隱藏的數據模式。
　

       但是傅裡葉分析也有局限性。它最適合分析週期性重複的原始數據，對瞬態信號或者表現出突然變化的數據（如說的話），傅裡葉分析就有困難。所以我們常常需要隨實際數據改變我們的分析表示法，從而使我們能分辨出數據流中特定部分更多的細節。本質上，我們需要一種能在不同點上改變尺度的方法，而尺度就是小波的核心。

       下面的解釋節選於Dana Mackenzie所著、受到高度推崇的「小波: 既見森林又見樹木」一書。

       考慮一下我們是如何看風景的。如果你在夏天從飛機上向下看，森林就是鋪天蓋地的綠色。然而，若是你開車從旁邊經過，你見到的是一棵棵的樹木。如果你停下來，走得更靠近一些，你就能看清枝杈和樹葉。再近些，你還要可以看見樹葉上的露珠和昆蟲。而用放大鏡，你就能看清樹葉和其脈絡的構造細節。

       當我們更靠近一個物體時，我們的視野就變窄了，看見越來越細微的細節。換言之，當我們的範圍變得更小時，我們的分辨率就更高。我們的眼睛和思維能很快適應視野的變化，從宏觀轉到微觀。可惜我們不能將此技術應用於照片或計算機化的數字圖像。

       如果你放大一張森林的照片（好像你在試圖「走近」一棵樹木），你所見到的是更模糊的圖像;。你不能分辨出枝杈、樹葉或露珠。不管你在電影裡看到什麼，任何「銳化」或處理都無助你看清細節，這些細節原本就沒有編碼進圖像。我們見不到比像素更小的東西，照相機一次只能給我們提供一種分辨率。

       小波算法允許我們以不同等級的細節（分辨率）和利用更大的壓縮（比例尺），記錄或處理一個場景的不同區域。本質上，它們讓我們在更近的距離上拍攝新的照片。如果你從一個很寬的視野看數據的集合（也稱信號），你將看到大尺寸的特性，在更小、更靠近的視野上，你能觀察到更細小的特性。

       與傅裡葉分析中使用的無限重複的正弦波不同，小波常常是不規則的和非對稱的，隨著離中心點越來越遠，其數值逐漸靠近零。通過把數據流分解成小波，常常就有可能保存甚至增強信號和信息有關時序的具體的局部特性。

         小波幾乎可以採用任何波形，在小波應用中正在做的大量工作是基於發現對處理的數據類型有效的相應的小波函數。

       第一個小波函數是簡單的方波，它是由數學家Alfred Harr在二十世紀初發現的。然而，該領域真正的發展始於上世紀八十年代中期，當時在一家法國石油公司工作的工程師Jean Morlet開發了小波變換分析來解釋地震數據。然後他與物理學家Alex Grossmann合作，建立了正式的數學模型。

       小波的發展已經遠遠超出了當初的地球物理學基礎，今天小波被用於各種不同的目的，特別是在數字成像和壓縮領域。

       例如，根據你的需求，依據你願意放棄多少細節或精度，你可以使用不同類型的壓縮，來降低數字圖像的大小。基於小波的壓縮比其他類型有高得多的效率。小波還能實現想像不到的細微細節和紋理繪圖，如動畫電影Monster, Inc.中有真實感的頭髮繪製，同時仍能使文件的大小和處理的時間在能接受的範圍內。

       小波也是很多與圖像有關的壓縮標準的核心，如彩色圖像的JPEG-2000標準和WSQ（小波標量量化灰度指紋圖像壓縮算法），自1993年以來美國聯邦調查局就開始將該算法用於儲存指紋數據庫。

       MPEG-4數字視頻標準中的小波壓縮提供了比JPEG質量更好的基於Web的視頻，但它產生的文件只有（JPEG）文件的幾分之一。MPEG-4還有幾種質量級別，允許服務器根據所需帶寬動態調整輸出。

小波也用於降噪和圖像搜索技術。科學家正在探討利用小波進行不同類型的醫療診斷以及氣象預報。

　

　

       小波(Wavelet)這一術語，顧名思義，「小波」就是小的波形。所謂「小」是指它具有衰減性；而稱之為「波」則是指它的波動性，其振幅正負相間的震盪形式。與Fourier變換相比，小波變換是時間（空間）頻率的局部化分析，它通過伸縮平移運算對信號（函數）逐步進行多尺度細化，最終達到高頻處時間細分，低頻處頻率細分，能自動適應時頻信號分析的要求，從而可聚焦到信號的任意細節，解決了Fourier變換的困難問題，成為繼Fourier變換以來在科學方法上的重大突破。有人把小波變換稱為「數學顯微鏡」。

產生歷史
　

       小波變換的概念是由法國從事石油信號處理的工程師J.Morlet在1974年首先提出的，通過物理的直觀和信號處理的實際需要經驗的建立了 反演 公式，當時未能得到數學家的認可。正如1807年法國的熱學工程師J.B.J.Fourier提出任一 函數 都能展開成 三角函數 的 無窮級數 的創新概念未能得到著名數學家J.L.Lagrange，P.S.Laplace以及A.M.Legendre的認可一樣。幸運的是，早在七十年代，A.Calderon表示定理的發現、Hardy空間的原子分解和無條件基的深入研究為小波變換的誕生做了理論上的準備，而且 J.O.Stromberg還構造了歷史上非常類似於現在的小波基；1986年著名數學家Y.Meyer偶然構造出一個真正的小波基，並與 S.Mallat合作建立了構造小波基的同意方法棗多尺度分析之後，小波分析才開始蓬勃發展起來，其中 比利時 女數學家I.Daubechies撰寫的《 小波十講 （Ten Lectures on Wavelets）》對小波的普及起了重要的推動作用。它與Fourier變換、窗口Fourier變換（Gabor變換）相比，這是一個時間和頻率的局域變換，因而能有效的從信號中提取信息，通過伸縮和平移等運算功能對函數或信號進行多尺度細化分析（Multiscale Analysis），解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題，從而小波變化被譽為「數學顯微鏡」，它是調和分析發展史上里程碑式的進展。

分析方法
　

       小波分析的應用是與小波分析的理論研究緊密地結合在一起地。現在，它已經在科技信息產業領域取得了令人矚目的成就。電子信息技術是六大高新技術中重要的一個領域，它的重要方面是圖像和信號處理。現今，信號處理已經成為當代科學技術工作的重要部分，信號處理的目的就是：準確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲、精確地重構（或恢復）。從數學地角度來看，信號與 圖像處理 可以統一看作是信號處理（圖像可以看作是二維信號），在小波分析地許多分析的許多應用中，都可以歸結為信號處理問題。現在，對於其性質隨時間是穩定不變的信號，處理的理想工具仍然是 傅立葉分析 。但是在實際應用中的絕大多數信號是非穩定的，而特別適用於非穩定信號的工具就是小波分析。

發展現狀
　

         小波分析是當前數學中一個迅速發展的新領域，它同時具有理論深刻和應用十分廣泛的雙重意義。

       小波分析是當前應用數學和工程學科中一個迅速發展的新領域，經過近10年的探索研究，重要的數學形式化體系已經建立，理論基礎更加紮實。與Fourier變換相比，小波變換是空間(時間)和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。通過伸縮和平移等運算功能可對函數或信號進行多尺度的細化分析，解決了 Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯繫了應用數學、物理學、計算機科學、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個學科。數學家認為，小波分析是一個新的數學分支，它是 泛函分析、Fourier分析、樣調分析、數值分析 的完美結晶；信號和信息處理專家認為，小波分析是時間—尺度分析和 多分辨分析 的一種新技術，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數據壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學意義和應用價值的成果。

應用領域

       事實上小波分析的應用領域十分廣泛，它包括：數學領域的許多學科；信號分析、圖像處理； 量子力學 、理論物理；軍事電子對抗與武器的智能化； 計算機 分類與識別；音樂與語言的人工合成；醫學成像與診斷；地震勘探數據處理；大型機械的故障診斷等方面；例如，在數學方面，它已用於數值分析、構造快速數值方法、曲線曲面構造、微分方程求解、 控制論 等。在信號分析方面的濾波、去噪聲、壓縮、傳遞等。在圖像處理方面的圖像壓縮、分類、識別與診斷，去污等。在醫學成像方面的減少B超、CT、 核磁共振成像 的時間，提高分辨率等。 
　　(1) 小波分析用於信號與圖像壓縮是小波分析應用的一個重要方面。它的特點是壓縮比高，壓縮速度快，壓縮後能保持信號與圖像的特徵不變，且在傳遞中可以抗干擾。基於小波分析的壓縮方法很多，比較成功的有小波包最好基方法，小波域紋理 模型方法 ，小波變換零樹壓縮，小波變換向量壓縮等。 
　　(2)小波在信號分析中的應用也十分廣泛。它可以用於邊界的處理與濾波、時頻分析、信噪分離與提取弱信號、求分形指數、信號的識別與診斷以及多尺度邊緣檢測等。 
　　(3)在工程技術等方面的應用。包括計算機視覺、 計算機圖形學 、曲線設計、湍流、遠程宇宙的研究與 生物醫學方面。